Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x - 1}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Paso 5

Multiplica $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 6.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.2

Reescribe $- 1 x^{- 2}$ como $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Paso 8

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$