Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} - 1}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x - 1} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{1 - 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x - 1} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $e^{x - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $e^{x - 1}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1}}{1}$

Paso 1.4

Divide $e^{x - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} e^{x - 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$e^{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{1 - 1}$

Paso 4.2

Resta $1$ de $1$ .

$e^{0}$

Paso 4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$