Cálculo Ejemplos

$\int (x^{3} - 3 x + e^{3 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int x^{3} - 3 x + e^{3 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{3} d x + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

Paso 4

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x d x + \int e^{3 x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{3 x} d x$

Paso 6

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 6.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{u} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$