Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1.1

Convierte exponentes negativos en fracciones.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Paso 1.1.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.1

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Paso 1.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

Paso 1.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Paso 1.2.2

Combina factores.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Paso 1.2.2.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Paso 1.2.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

Paso 1.2.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

Paso 1.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

Paso 1.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

Paso 1.2.2.6

Multiplica $\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $x$ de $(x^{4} - 1) x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x^{2} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Paso 1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.6.1

Multiplica $1^{2} - 1 \cdot 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 2.1.3.6.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.5

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.14

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Paso 2.3.16

Multiplica $x^{2} - 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

Paso 2.3.17

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Paso 3.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 3.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 3.6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1}$

Paso 5.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$2$