Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 16$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}]$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}]$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}]$

Paso 3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}]$

Paso 3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Paso 3.2.1.2

Divide $4 (x + 2)$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [4 (x + 2)]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [4 x + 4 \cdot 2]$

Paso 3.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + 8]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 8$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$4 x' + \frac{d}{d y} [8]$

Paso 3.6

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8$ con respecto a $y$ es $0$ .

$4 x' + 0$

Paso 3.7

Suma $4 x'$ y $0$ .

$4 x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 4 x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $4 x' = 1$ .

$4 x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 x' = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 x' = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{4}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4}$