Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.5

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.3

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.2.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (6 x) - \cos (7 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (7 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \cdot 7)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.6

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- 7 \sin (7 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.7

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{2 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 lim_{x \to 0} \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.5

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.7

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.9.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \cdot 0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9.1.3

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9.1.4

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9.1.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9.1.6

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.2.9.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)]$ .

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Paso 5.3.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \sin (6 x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.6

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (6 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cdot 6 \cdot \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3.7

Multiplica $6$ por $- 6$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \sin (7 x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.6

Mueve $7$ a la izquierda de $\cos (7 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cdot 7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4.7

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{1}$

Paso 5.4

Divide $- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 36 \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Paso 6.2

Mueve el término $36$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 lim_{x \to 0} \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Paso 6.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Paso 6.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Paso 6.5

Mueve el término $49$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 lim_{x \to 0} \cos (7 x))$

Paso 6.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (lim_{x \to 0} 7 x))$

Paso 6.7

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Paso 8.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cdot 1 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Paso 8.1.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Paso 8.1.4

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (0))$

Paso 8.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cdot 1)$

Paso 8.1.6

Multiplica $49$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49)$

Paso 8.2

Suma $- 36$ y $49$ .

$\frac{1}{2} \cdot 13$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $13$ .

$\frac{13}{2}$