Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[4]{8 x^{2}}$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{8 x^{2}}$ como ${(8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2

Factoriza $8$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 (x^{2}))}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla del producto a $8 (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} {(x^{2})}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 (\frac{1}{4})}]$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 \frac{1}{2 (2)}}]$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 \frac{1}{2 \cdot 2}}]$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Como $8^{\frac{1}{4}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $8^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 10

Combina $8^{\frac{1}{4}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{4}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$