Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 10.2.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Paso 10.2.3.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + C$