Cálculo Ejemplos

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y - \frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Paso 2.3.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Paso 2.3.7

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Paso 2.3.8

Suma $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ y $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Para escribir $x^{2} y'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Paso 3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.1.2

Multiplica $- (- x y')$ .

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Paso 5.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.2

Para escribir $2 x y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.1.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1.1

Resta $2 x y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

Paso 5.3.1.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Paso 5.3.2

Factoriza $x y'$ de $x^{2} y' y^{2} + x y'$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x y'$ de $x^{2} y' y^{2}$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $x y'$ de $x y'$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ por $x (x y^{2} + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ por $x (x y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $x y^{2} + 1$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.2

Para escribir $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x y^{2} + 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.3.1

Multiplica $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x y^{2} + 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5

Factoriza $y$ de $- 2 y^{3} x + y$ .

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Paso 5.3.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5.4

Factoriza $y$ de $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.7

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.3.9.1

Reescribe $- (2 y^{2} x - 1)$ como $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$