Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + y^{2} - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.4.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

Paso 3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

Paso 5.1.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $2 y y' - x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ por $2 y - x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ por $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y - x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (4 x - y)$ como $- 1 (4 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$