Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.2.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 0}$

Paso 1.3.8

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$