Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

Paso 2.6.2

Combina $8$ y $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ como $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Paso 3.2.2

Expande $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Paso 3.2.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Paso 3.2.3.2

Resta $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Paso 3.2.4

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Paso 3.2.5

Factoriza $2$ de $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $2$ de $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Paso 3.2.5.2

Factoriza $2$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Paso 3.2.5.3

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Paso 3.2.5.4

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Paso 3.2.5.5

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Paso 3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$