Cálculo Ejemplos

$f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 12 x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 6

Dado que $24$ es constante con respecto a $x$ , mueve $24$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{- 4} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 9.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 12.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 12.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 12.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 12.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 12.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 12.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$