Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8 d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 8 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 8 x + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 x + C$

Paso 12.2

Reordena los términos.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ .

$F (x) =$ $x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$