Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $15$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{1 + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $1$ y $15$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \sqrt{x + 15}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 15}$ como ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 15$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 15$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.6

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.14

Multiplica $\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.15

Mueve ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.5

Resta $\frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

Paso 1.3.9

Resta $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Paso 1.5

Reescribe ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 15}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 15}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Multiplica $\frac{1}{- 2 x}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x + 15}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 x (2 \sqrt{x + 15})}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{- 4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{- 4} lim_{x \to 1} \frac{1}{x \sqrt{x + 15}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}$

Paso 2.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $15$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{1}{4} \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Paso 4.2

Multiplica $- - \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 15}}$

Paso 4.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $15$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Paso 4.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 4.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 4.5.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{16}$

Forma decimal:

$0.0625$