Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $e$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica.

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $e$ de $e$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1}$

Paso 1.4

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} e^{x}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$e^{1}$

Paso 4

Simplifica.

$e$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$