Cálculo Ejemplos

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Paso 3

Sea $u = 5 x + 1$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 5 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Paso 4

Combina $5^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Paso 6

La integral de $5^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Paso 7

Dado que $- 15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 15$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Paso 9.2

Simplifica.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $5^{u}$ por $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $5^{u}$ y $5$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $5$ de $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3.3

Combina $- 15$ y $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $- 15$ y $5$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $5$ de $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Paso 9.3.4.2.4

Divide $- 3 x^{5}$ por $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Paso 9.3.5

Para escribir $- 3 x^{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Paso 9.3.6

Combina $- 3 x^{5}$ y $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Paso 9.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$