Cálculo Ejemplos

$x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 9$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C$