Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} + 4 x^{3}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 4 x^{3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{8 - 1}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.4

Resta $1$ de $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.5

Combina $3$ y $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.6

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{21}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.7

Cancela el factor común de $21$ y $3$ .

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Paso 8.2.3.7.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.7.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$7 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.8

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$7 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.9

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 8.2.3.9.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.9.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$7 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.9.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$7 + 4 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 8.2.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$7 + 4 (4 - \frac{1}{4})$

Paso 8.2.3.11

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 8.2.3.12

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 8.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 + 4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 8.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.14.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$7 + 4 \frac{16 - 1}{4}$

Paso 8.2.3.14.2

Resta $1$ de $16$ .

$7 + 4 (\frac{15}{4})$

Paso 8.2.3.15

Combina $4$ y $\frac{15}{4}$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Paso 8.2.3.16

Multiplica $4$ por $15$ .

$7 + \frac{60}{4}$

Paso 8.2.3.17

Cancela el factor común de $60$ y $4$ .

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Paso 8.2.3.17.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Paso 8.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.17.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 (1)}$

Paso 8.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$7 + \frac{15}{1}$

Paso 8.2.3.17.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$7 + 15$

Paso 8.2.3.18

Suma $7$ y $15$ .

$22$

Paso 9