Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2} d x$

Paso 3

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 8 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 8 x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 8.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{8 x^{5}}{5} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

Paso 10.2.2

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{1}{2 x} + C$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$