Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x d x + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x d x + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Paso 10

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 \int x^{2} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + 5 \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 12.3

Combina fracciones.

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Paso 12.3.1

Combina $5$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5 x^{3}}{3} + C$

Paso 12.3.2

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5}{3} x^{3} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5}{3} x^{3} + C$