Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d x}{d y}$

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Paso 1.1.1

Resta $\frac{3}{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d x}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $\frac{x}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

Paso 1.1.2.2

Suma $\frac{3}{x y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $- \frac{x}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $y x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

Paso 1.2.2.2

Reordena los factores de $y x$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

Paso 1.2.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{- x^{2} + 3}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

Paso 1.5.3

Multiplica $\frac{1}{- x^{2} + 3}$ por $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $- x^{2} + 3$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = - x^{2} + 3$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = - x^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $- x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ por $1$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

Paso 3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

Paso 3.4.1.3

Reordena los factores en $\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

Paso 3.7

Resuelve $x$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ .

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

Paso 3.7.2

Divide cada término en $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ por $y^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Divide cada término en $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Paso 3.7.2.2.1.2

Divide $| - x^{2} + 3 |$ por $1$ .

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Paso 3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Paso 3.7.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

Paso 3.7.5

Divide cada término en $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.7.5.1

Divide cada término en $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.7.5.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.7.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.7.5.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

Paso 3.7.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$