Cálculo Ejemplos

$(\sin (y) - y \sin (x)) d x + (\cos (x) + x \cos (y) - y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) - y \sin (x)]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (y) - y \sin (x)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- \sin (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y \sin (x)$ con respecto a $y$ es $- \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \cos (x) + x \cos (y) - y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) + x \cos (y) - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + x \cos (y) - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Paso 2.4.1

Como $\cos (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4.3

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + 0$

Paso 2.5.2

Suma $- \sin (x) + \cos (y)$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\cos (y) - \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- \sin (x) + \cos (y)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (y) - y \sin (x) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \sin (y) d x + \int - y \sin (x) d x$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \sin (y) x + C + \int - y \sin (x) d x$

Paso 5.3

Dado que $- y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y \int \sin (x) d x$

Paso 5.4

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y (- \cos (x) + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\sin (y) x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\sin (y) x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.3.2

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Paso 8.4.1

Como $\cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y \cos (x)$ con respecto a $y$ es $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.4.3

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y)$

Paso 9.1.2

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $\cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $x \cos (y)$ de $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y + 0 - \cos (x)$

Paso 9.1.3.2

Suma $\cos (x) - y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y - \cos (x)$

Paso 9.1.3.3

Resta $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Reescribe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Paso 12.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$