Cálculo Ejemplos

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $- 1$ por $x$ y de $3$ por $f$ en $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Paso 4.2

Simplifica $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Paso 4.2.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$- 3 + K = 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 3 + 3$

Paso 4.3.2

Suma $3$ y $3$ .

$K = 6$

Paso 5

Sustituye $6$ por $K$ en $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $6$ por $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$