Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1)}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} - 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 2.2.1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 2.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Paso 2.2.1.1.3

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.6

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.7.1

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 2.2.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7.1.2

Divide $(A) (y - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7.5

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 2.2.1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 2.2.1.1.7.5.2

Divide $(B) (y + 1)$ por $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Paso 2.2.1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Paso 2.2.1.1.8

Mueve $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Paso 2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 2.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) + B$ .

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 2 B$ .

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Paso 2.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.3.3.2.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{y + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Paso 2.2.1.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Paso 2.2.1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Paso 2.2.1.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

Sea $u_{2} = y - 1$ . Entonces $d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.8.1

Deja $u_{2} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 2.2.8.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 2.2.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.8.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.10

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Combina $\ln (| y + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ al numerador.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica $- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Paso 3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Paso 3.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Paso 3.7.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.1

Expande $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ ; para ello, mueve $2 C + \ln (| y + 1 |)$ fuera del logaritmo.

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Paso 3.7.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Paso 3.7.2.3

Multiplica $2 C + \ln (| y + 1 |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Paso 3.7.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Paso 3.7.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

Paso 3.7.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

Paso 3.7.6

Combina $| y + 1 |$ y $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ .

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Paso 3.7.7

Reordena los factores en $\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ .

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Paso 3.7.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

Paso 3.7.9

Reescribe $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

Paso 3.7.10

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.2

Multiplica ambos lados por $| y - 1 |$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Paso 3.7.10.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.3.1

Cancela el factor común de $| y - 1 |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Paso 3.7.10.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Paso 3.7.10.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ .

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

Paso 3.7.10.4.2

Divide cada término en $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ por $e^{- 2 C}$ y simplifica.

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Paso 3.7.10.4.2.1

Divide cada término en $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ por $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Paso 3.7.10.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Paso 3.7.10.4.2.2.1.2

Divide $| y - 1 |$ por $1$ .

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Paso 3.7.10.4.3

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Paso 3.7.10.4.4

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Paso 3.7.10.4.5

Resuelve $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ en $y$ .

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Paso 3.7.10.4.5.1

Multiplica ambos lados por $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.2

Simplifica.

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Paso 3.7.10.4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.2.1.1

Simplifica $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.2.1.1.2

Reescribe $- 1 e^{- 2 C}$ como $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.2.2.1

Simplifica $\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

Paso 3.7.10.4.5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

Paso 3.7.10.4.5.2.2.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

Paso 3.7.10.4.5.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.3.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

Paso 3.7.10.4.5.3.2

Suma $e^{- 2 C}$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ .

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Paso 3.7.10.4.5.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.3.2

Factoriza $y$ de $- x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ .

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.4

Reescribe $e^{- 2 C}$ como ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.3.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{- C}$ y $b = x$ .

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.5.3.6

Divide cada término en $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ por $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.3.6.1

Divide cada término en $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ por $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Paso 3.7.10.4.5.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.10.4.5.3.6.2.1

Cancela el factor común de $e^{- C} + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Paso 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Paso 3.7.10.4.5.3.6.2.2

Cancela el factor común de $e^{- C} - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Paso 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Paso 3.7.10.4.6

Resuelve $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.6.1

Multiplica ambos lados por $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.6.2.1.1

Simplifica $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

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Paso 3.7.10.4.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.2.1.1.2

Reescribe $- 1 e^{- 2 C}$ como $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.10.4.6.2.2.1

Simplifica $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

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Paso 3.7.10.4.6.2.2.1.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 C}$ .

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Paso 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ al numerador.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

Paso 3.7.10.4.6.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

Paso 3.7.10.4.6.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

Paso 3.7.10.4.6.3

Resuelve $y$

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Paso 3.7.10.4.6.3.1

Suma $x^{2} y$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

Paso 3.7.10.4.6.3.2

Suma $e^{- 2 C}$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ .

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Paso 3.7.10.4.6.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.3.3.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.3.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ .

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4

Divide cada término en $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ por $e^{- 2 C} + x^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.10.4.6.3.4.1

Divide cada término en $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ por $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.10.4.6.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

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Paso 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.10.4.6.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

Reescribe $e^{- 2 C}$ como ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

Reordena $- x^{2}$ y ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{- C}$ y $b = x$ .

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 3.7.10.4.7

Enumera todas las soluciones.

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$