Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$ , $y (0) = 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 2 x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x^{3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{3} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{4} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $7$ por $y$ en $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ .

$7 = \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 7$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 7$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 + K = 7$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 7$

Paso 5

Sustituye $7$ por $K$ en $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $7$ por $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{4} + 7$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 7$