Cálculo Ejemplos

$(2 x + \frac{y}{x}) d x + (4 y + \ln (x)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x + \frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + \frac{y}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + \frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 1.2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2.2

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y + \ln (x) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 4 y d y + \int \ln (x) d y$

Paso 5.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 \int y d y + \int \ln (x) d y$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \ln (x) d y$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (x) y + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (x) y + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.2.2

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\ln (x) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.3.3

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 9.1.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x = \frac{y}{x}$

Paso 9.1.1.2

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x} = 0$

Paso 9.1.1.3

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x}$ .

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Paso 9.1.1.3.1

Resta $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x + 0 = 0$

Paso 9.1.1.3.2

Suma $\frac{d g}{d x} - 2 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Paso 9.1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Paso 10.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$

Paso 12

Reordena los factores en $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + y \ln (x) + x^{2} + C$