Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 9 y = 8$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 9$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 9 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{9 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{9 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{9 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{9 x}$ .

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + e^{9 x} (9 y) = e^{9 x} \cdot 8$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 e^{9 x} y = e^{9 x} \cdot 8$

Paso 2.3

Mueve $8$ a la izquierda de $e^{9 x}$ .

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 e^{9 x} y = 8 \cdot e^{9 x}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 e^{9 x} y = 8 e^{9 x}$ .

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 y e^{9 x} = 8 e^{9 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{9 x} y] = 8 e^{9 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{9 x} y] d x = \int 8 e^{9 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{9 x} y = \int 8 e^{9 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$e^{9 x} y = 8 \int e^{9 x} d x$

Paso 6.2

Sea $u = 9 x$ . Entonces $d u = 9 d x$ , de modo que $\frac{1}{9} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 9 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 6.2.1.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$9$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{9 x} y = 8 \int e^{u} \frac{1}{9} d u$

Paso 6.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{9 x} y = 8 \int \frac{e^{u}}{9} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$e^{9 x} y = 8 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{9}$ y $8$ .

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} \int e^{u} d u$

Paso 6.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} (e^{u} + C)$

Paso 6.7

Simplifica.

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{u} + C$

Paso 6.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x$ .

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{9 x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{9 x} + C$ por $e^{9 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{9 x} + C$ por $e^{9 x}$ .

$\frac{e^{9 x} y}{e^{9 x}} = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{9 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{9 x} y}{e^{9 x}} = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{9 x}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{8}{9}$ por $1$ .

$y = \frac{8}{9} + \frac{C}{e^{9 x}}$