Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$ como $(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.2

Expande $(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.2.3

Suma $x$ y $x$ .

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $7$ por $7$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{x} e^{- x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Mueve $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 (e^{- x} e^{x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{- x + x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.5.3

Suma $- x$ y $x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.6

Simplifica $7 \cdot - 3 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.7

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.9

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.9.1

Mueve $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{x - x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.9.3

Resta $x$ de $x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{0} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.10

Simplifica $- 3 \cdot 7 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.11

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x} e^{- x} d x$

Paso 2.3.1.3.1.13

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.13.1

Mueve $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Paso 2.3.1.3.1.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x - x} d x$

Paso 2.3.1.3.1.13.3

Resta $x$ de $- x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.1.3.1.14

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 + 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $21$ de $- 21$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 42 + 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $49$ es constante con respecto a $x$ , mueve $49$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 49 \int e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 49 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.5

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 49 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $49$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.8

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.9

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.10

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3.11

Sea $u_{2} = - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.11.1

Deja $u_{2} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.11.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.11.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.3.11.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.3.11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.12

Simplifica.

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Paso 2.3.12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.12.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.14

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.15

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.16

Simplifica.

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Paso 2.3.16.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 9$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \frac{- 9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.16.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.17

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Paso 2.3.18

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{u_{1}} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Paso 2.3.19

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.19.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Paso 2.3.19.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Paso 2.3.20

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + K$