Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d θ} = \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{θ}$ como $θ^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{\frac{1}{2}} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $θ^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $θ$ es $\frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 2.3.5

Como la derivada de $\tan (θ)$ es $\sec^{2} (θ)$ , la integral de $\sec^{2} (θ)$ es $\tan (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (\tan (θ) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + K$