Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $7$ por $y$ en $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Paso 4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Paso 4.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Paso 4.2.2

Resta $3$ de $9$ .

$6 + K = 7$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 7 - 6$

Paso 4.3.2

Resta $6$ de $7$ .

$K = 1$

Paso 5

Sustituye $1$ por $K$ en $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$