Cálculo Ejemplos

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Paso 1

Resta $2 y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{- 3 x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $e^{- 3 x}$ de $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Paso 3.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y$ de $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Paso 4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Paso 4.3.3.2

Niega el exponente de $e^{- 3 x}$ y quítalo del denominador.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Paso 4.3.3.3.2

Multiplica $e^{3 x}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 4.3.4.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 4.3.4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 4.3.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1

Combina $e^{3 x}$ y $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Paso 5.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Paso 5.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ como $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Paso 6.2

Reordena $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$