Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $x y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y^{3}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y^{2}, 2, 1$

Paso 3.2.2

Como $2 y^{2}, 2, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 2, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{2}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 3.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.6

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 3.2.7

Los factores para $y^{2}$ son $y \cdot y$ , que es $y$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocurre $2$ veces.

Paso 3.2.8

El MCM de $y^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y \cdot y$

Paso 3.2.9

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Paso 3.2.10

El MCM para $2 y^{2}, 2, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 y^{2}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 y^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ por $x^{2} + 2 K$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ por $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 K$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Paso 3.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.