Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ cuando $y (3) = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 3$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x |$ .

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

Paso 3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm | x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

Paso 3.5.4.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C | x | - 3$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x | - 3$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = C | x | - 3$ .

$3 = C | 3 | - 3$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C | 3 | - 3 = 3$ .

$C | 3 | - 3 = 3$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$C \cdot 3 - 3 = 3$

Paso 6.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$3 C - 3 = 3$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 C = 3 + 3$

Paso 6.3.2

Suma $3$ y $3$ .

$3 C = 6$

Paso 6.4

Divide cada término en $3 C = 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $3 C = 6$ por $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{6}{3}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$C = 2$

Paso 7

Sustituye $2$ por $C$ en $y = C | x | - 3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $2$ por $C$ .

$y = 2 | x | - 3$