Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica $x (1 + y)$ .

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Paso 1.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d y}{d x} - x y = 0 + 0 + x (1 + y)$

Paso 1.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} - x y = x \cdot 1 + x y$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x y = x + x y$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Suma $x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = x + x y + x y$

Paso 1.1.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x + 2 x y$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x + 2 x y$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + 2 x y$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + 2 x y$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x (2 y)$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + 2 y)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + 2 y}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} (x (1 + 2 y))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $1 + 2 y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $1 + 2 y$ de $x (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 + 2 y$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 + 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 2.2.1.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + 2 y |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 3.5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}{2}$

Paso 4.3

Reordena $e^{x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}{2}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 1}{2}$