Cálculo Ejemplos

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$x e^{- t} d x = t d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $e^{- t}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $e^{- t}$ fuera de la integral.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ como $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ .

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $e^{- t}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Paso 2.2.3.2.2

Combina $\frac{e^{- t}}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ por $\frac{1}{2} e^{- t}$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ por $\frac{1}{2} e^{- t}$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $\frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

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Paso 3.1.3.1.3.1

Combina $t$ y $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.3.2

Combina $y$ y $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Paso 3.1.3.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.7

Combina $K$ y $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Paso 3.1.3.1.8

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $2$ de $2 y t + 2 K$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 y t$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (y t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ como $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ por $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Paso 3.3.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ por $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Paso 3.3.5.2

Eleva $\sqrt{e^{- t}}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Paso 3.3.5.3

Eleva $\sqrt{e^{- t}}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Paso 3.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Paso 3.3.5.6

Reescribe ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ como $e^{- t}$ .

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Paso 3.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e^{- t}}$ como $e^{\frac{- t}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.5.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.5.6.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.5.6.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Paso 3.3.5.6.5

Combina $- 2$ y $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Paso 3.3.5.6.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.3.5.6.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 t$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Paso 3.3.5.6.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.5.6.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Paso 3.3.5.6.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Paso 3.3.5.6.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Paso 3.3.5.6.6.2.4

Divide $- t$ por $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Paso 3.3.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Paso 3.3.7

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$