Cálculo Ejemplos

$x y d y - (y^{2} + 3 x^{2}) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$- (y^{2} + 3 x^{2}) d x + x y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (y^{2} + 3 x^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y^{2} + 3 x^{2})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (y^{2} + 3 x^{2})$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y + \frac{d}{d y} [3 x^{2}])$

Paso 2.5

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 y = y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x y$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Paso 5.3.2

Resta $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{x}$

Paso 5.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- (y^{2} + 3 x^{2}) d x + x y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- (y^{2} + 3 x^{2})$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (y^{2} + 3 x^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- y^{2} - (3 x^{2})) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(- y^{2} - 3 x^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $- y^{2} - 3 x^{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- y^{2} - 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - (3 x^{2})$ .

$\frac{- (y^{2} + 3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.8

Reescribe $- (y^{2} + 3 x^{2})$ como $- 1 (y^{2} + 3 x^{2})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + 3 x^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Paso 7.10

Multiplica $x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.11.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.11.2

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Paso 7.11.3

Cancela el factor común.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Paso 7.11.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7.12

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $\frac{1}{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{x^{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $2$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.4

Combina $\frac{1}{2 x^{2}}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.11

Combina $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ y $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.12

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 12.3.13.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Suma $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + y^{2} + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Suma $- y^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + 3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Suma $0$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 x^{2}}{x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 13.1.1.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} = 0$

Paso 13.1.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} = 0$

Paso 13.1.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3}{x} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $\frac{3}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{3}{x}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- \frac{3}{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{3}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int \frac{3}{x} d x$

Paso 14.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (x) = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 14.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$g (x) = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 14.6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Paso 14.7

Simplifica.

$g (x) = - 3 \ln (| x |) + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - 3 \ln (| x |) + C$

Paso 16

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln ({| x |}^{3}) + C$