Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{x^{2} - y}$

Paso 1

Sea $v = e^{x^{2} - y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{x^{2} - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{x^{2} - y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} - y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x - y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{x^{2} - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 x - y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 2 x = x v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$

Paso 5.1.2

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (x v) + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (x v)$ como $- (x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (x v) + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v - 1 \cdot (- 2 x)$

Paso 5.1.2.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 x)$ como $- (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v - (- 2 x)$

Paso 5.1.2.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v + 2 x$

Paso 5.1.3

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- x v + 2 x) v$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.4.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- x v + 2 x) v$

Paso 5.1.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = (- x v + 2 x) v$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.4.2.1

Simplifica $(- x v + 2 x) v$ .

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Paso 5.1.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - x v \cdot v + 2 x v$

Paso 5.1.4.2.1.2

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.2.1.2.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x (v \cdot v) + 2 x v$

Paso 5.1.4.2.1.2.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x v^{2} + 2 x v$

Paso 5.1.4.2.1.3

Mueve $x$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 v^{2} x + 2 x v$

Paso 5.1.4.2.1.4

Mueve $x$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 v^{2} x + 2 v x$

Paso 5.1.5

Reescribe $- 1 v^{2}$ como $- v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - v^{2} x + 2 v x$

Paso 5.2

Factoriza $v x$ de $- v^{2} x + 2 v x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $v x$ de $- v^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v) + 2 v x$

Paso 5.2.2

Factoriza $v x$ de $2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v) + v x (2)$

Paso 5.2.3

Factoriza $v x$ de $v x (- v) + v x (2)$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v + 2)$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v (- v + 2)}$ .

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v x (- v + 2))$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $v (- v + 2)$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $v (- v + 2)$ de $v x (- v + 2)$ .

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v (- v + 2) (x))$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v (- v + 2) x)$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = x$

Paso 5.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v (- v + 2)} d v = x d x$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v (- v + 2)} d v = \int x d x$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (- v + 2)$ .

$\frac{1 (v (- v + 2))}{v (- v + 2)} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (- v + 2))}{v (- v + 2)} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (- v + 2)}{- v + 2} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $- v + 2$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (- v + 2)}{- v + 2} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5.1.2

Divide $A (- v + 2)$ por $1$ .

$1 = A (- v + 2) + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (- v) + A \cdot 2 + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = - A v + A \cdot 2 + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = - A v + 2 A + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.1.5.5

Divide $B v$ por $1$ .

$1 = - A v + 2 A + B v$

Paso 6.2.1.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1.6.1

Mueve $A$ .

$1 = - v A + 2 A + B v$

Paso 6.2.1.1.6.2

Reordena $B$ y $v$ .

$1 = - v A + 2 A + B v$

Paso 6.2.1.1.6.3

Mueve $2 A$ .

$1 = - v A + B v + 2 A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 2 A$ .

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Paso 6.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2

Divide cada término en $2 A = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.1.3.3.2

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- v + 2}$

Paso 6.2.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{- v + 2}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- v + 2)}$

Paso 6.2.1.5.5

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- v - 1 \cdot - 2)}$

Paso 6.2.1.5.6

Factoriza $- 1$ de $- v - 1 (- 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- (v - 2))}$

Paso 6.2.1.5.7

Reescribe los negativos.

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Paso 6.2.1.5.7.1

Reescribe $- (v - 2)$ como $- 1 (v - 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- 1 (v - 2))}$

Paso 6.2.1.5.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 v} d v + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Paso 6.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Paso 6.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Paso 6.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Paso 6.2.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{v - 2} d v) = \int x d x$

Paso 6.2.7

Sea $u_{2} = v - 2$ . Entonces $d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.7.1

Deja $u_{2} = v - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.7.1.1

Diferencia $v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [v - 2]$

Paso 6.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 2$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Paso 6.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Paso 6.2.7.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Paso 6.2.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int x d x$

Paso 6.2.9

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int x d x$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Simplifica las expresiones en la ecuación.

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Paso 7.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 7.1.1.1.2

Combina $\ln (| u_{2} |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 7.1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$ por $2$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}$ al numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 7.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + C \cdot 2$

Paso 7.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + 2 C$

Paso 7.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + 2 C$

Paso 7.4

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 7.5

Reescribe $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Paso 7.6

Resuelve $v$

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Paso 7.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 7.6.2

Multiplica ambos lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.6.3.1

Cancela el factor común de $| u_{2} |$ .

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Paso 7.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| v | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.4

Resuelve $v$

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Paso 7.6.4.1

Reordena los factores en $e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 7.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + 2 C}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Paso 8.3

Reordena $e^{x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Paso 8.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{x^{2} - y}$ .

$e^{x^{2} - y} = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x^{2} - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{x^{2} - y})$ ; para ello, mueve $x^{2} - y$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x^{2} - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Paso 10.2.3

Multiplica $x^{2} - y$ por $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Paso 10.3

Expande el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Reescribe $\ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Paso 10.3.2

Reescribe $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Paso 10.3.3

Expande $\ln (e^{x^{2}})$ ; para ello, mueve $x^{2}$ fuera del logaritmo.

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \ln (e)$

Paso 10.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \cdot 1$

Paso 10.3.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2}$

Paso 10.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2}$

Paso 10.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$

Paso 10.5.2

Combina los términos opuestos en $\ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Paso 10.5.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Paso 10.5.2.2

Suma $\ln (C | u_{2} |)$ y $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Paso 10.6

Divide cada término en $- y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.6.1

Divide cada término en $- y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Paso 10.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Paso 10.6.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Paso 10.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.6.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Paso 10.6.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ como $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$