Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Paso 1.3.2

Combina $7$ y $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Paso 1.3.3

Combina $x$ y $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

Paso 1.3.4

Combinar.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $\ln^{8} (y)$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Paso 1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Paso 1.3.6.2

Divide $7 (x)$ por $1$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = \ln (y)$ . Entonces $d u = \frac{1}{y} d y$ , de modo que $y d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \ln (y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 2.2.1.1.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{8}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (y)$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $\ln^{9} (y)$ .

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $9$ y $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Multiplica $7$ por $9$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

Paso 3.3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

Paso 3.3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.3.4.1

Reescribe la ecuación como $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $9$ de $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Factoriza $9$ de $\frac{63 x^{2}}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Factoriza $9$ de $9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Paso 3.3.4.2.1.3

Factoriza $9$ de $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

Paso 3.3.4.2.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

Paso 3.3.4.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.4.2.3.1

Combina $K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

Paso 3.3.4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

Paso 3.3.4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

Paso 3.3.4.2.5

Combina $9$ y $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

Paso 3.3.4.2.6

Reescribe $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ .

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$