Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - y (x + 1)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y (x + 1))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y (x + 1))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (x + 1))$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (x + 1))$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - (x + 1)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (- x - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x - 1 d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C}$

Paso 3.3.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{x^{2}}{2} - x + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}$