Cálculo Ejemplos

$y (3 + e^{x}) d y - 3 e^{x} d x = 0$

Paso 1

Suma $3 e^{x} d x$ a ambos lados de la ecuación.

$y (3 + e^{x}) d y = 3 e^{x} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{3 + e^{x}} (y (3 + e^{x})) d y = \frac{1}{3 + e^{x}} (3 e^{x}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $3 + e^{x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3 + e^{x}$ de $y (3 + e^{x})$ .

$\frac{1}{3 + e^{x}} ((3 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{3 + e^{x}} (3 e^{x}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 + e^{x}} ((3 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{3 + e^{x}} (3 e^{x}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$y d y = \frac{1}{3 + e^{x}} (3 e^{x}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y d y = 3 \frac{1}{3 + e^{x}} e^{x} d x$

Paso 3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3 + e^{x}}$ .

$y d y = \frac{3}{3 + e^{x}} e^{x} d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{3}{3 + e^{x}}$ y $e^{x}$ .

$y d y = \frac{3 e^{x}}{3 + e^{x}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{3 e^{x}}{3 + e^{x}} d x$

Paso 4.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 e^{x}}{3 + e^{x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{e^{x}}{3 + e^{x}} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = 3 + e^{x}$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = 3 + e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $3 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

Paso 4.3.2.1.2

Diferencia.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.3.2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Paso 4.3.2.1.4

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$e^{x}$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (3 \ln (| 3 + e^{x} |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (3 \ln (| 3 + e^{x} |)) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y^{2} = 6 \ln (| 3 + e^{x} |) + 2 C$

Paso 5.3

Simplifica $6 \ln (| 3 + e^{x} |)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = \ln ({| 3 + e^{x} |}^{6}) + 2 C$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 3 + e^{x} |}^{6}) + 2 C}$

Paso 5.5

Elimina el valor absoluto en ${| 3 + e^{x} |}^{6}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + 2 C}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(3 + e^{x})}^{6}) + C}$