Cálculo Ejemplos

$\frac{\arcsin (x)}{y} d x + (1 - e^{y}) d y = 0$

Paso 1

Resta $\frac{\arcsin (x)}{y} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 - e^{y}) d y = - \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y (1 - e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(y \cdot 1 + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$(y + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y - y e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y - y e^{y}) d y = - y \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$(y - y e^{y}) d y = - \arcsin (x) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.2.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - \int e^{y} d y) = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.2.5

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - (e^{y} + C_{2})) = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = \int - \arcsin (x) d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - \int \arcsin (x) d x$

Paso 4.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arcsin (x)$ y $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Paso 4.3.3

Combina $x$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Paso 4.3.4

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.3.4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.3.4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 4.3.4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 4.3.4.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u)$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u)$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Paso 4.3.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 4.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 4.3.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 4.3.9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Paso 4.3.9.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Paso 4.3.9.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Paso 4.3.9.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Paso 4.3.9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 4.3.10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$

Paso 4.3.11

Reescribe $- (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$ como $- (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Paso 4.3.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Paso 4.3.13

Simplifica.

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Paso 4.3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 4.3.13.2

Reordena los factores en $- \arcsin (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$