Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{1}{t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 5 \cdot \frac{1}{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Paso 2.3.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 5 \ln (| t |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 5 \ln (| t |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| t |}^{5}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de ${| t |}^{5}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y | = {| t |}^{5} e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm {| t |}^{5} C$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C {| t |}^{5}$