Cálculo Ejemplos

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Paso 1.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$