Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Paso 3.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Paso 3.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Paso 3.2.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Paso 3.3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Paso 3.3.3

Mueve $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Paso 3.3.4

Mueve $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Paso 3.3.5

Reordena $y^{2}$ y $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Simplifica.

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Paso 3.6.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Factoriza $4$ de $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

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Paso 3.6.1.5.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5.2

Factoriza $4$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5.3

Factoriza $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5.4

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5.5

Factoriza $4$ de $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5.6

Factoriza $4$ de $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5.7

Factoriza $4$ de $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.6

Reescribe $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ como $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

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Paso 3.6.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.6.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Paso 5

Como $y$ es positiva en la condición inicial $(0, 4)$ , solo considera $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $x$ y $4$ por $y$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ .

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Paso 6.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Paso 6.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Paso 6.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ como ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.4.2.1.3.1

Combina los términos opuestos en $9 + 0 + K + 0$ .

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Paso 6.4.2.1.3.1.1

Suma $9$ y $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.3.1.2

Suma $9 + K$ y $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.4.2.1.3.2

Simplifica.

$9 + K = 1^{2}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 + K = 1$

Paso 6.5

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - 9$

Paso 6.5.2

Resta $9$ de $1$ .

$K = - 8$

Paso 7

Sustituye $- 8$ por $K$ en $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- 8$ por $K$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Resta $8$ de $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Paso 7.2.2

Reordena los términos.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$