Cálculo Ejemplos

$y - x \frac{d y}{d x} = 6 x^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$- x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{3}$

Paso 1.2

Divide cada término en $- x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{3}$ por $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Paso 1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Paso 1.4.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $x$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (6 x^{2})}{- x}$

Paso 1.5.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{6 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (6 x^{2})$

Paso 1.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 6 \cdot x^{2}$

Paso 1.7

Factoriza $y$ de $\frac{y}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 6 \cdot x^{2}$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $\frac{1}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 6 \cdot x^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{- x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{1}{- x}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

Paso 2.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 6 \frac{1}{x} x^{2}$

Paso 3.4

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} x^{2}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} (x \cdot x)$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} (x \cdot x)$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 6 x$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 6 x$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 6 x d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} y = \int - 6 x d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} y = - 6 \int x d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{- 6}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} y = \frac{- 3}{1} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{x} y = - 3 x^{2} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{y}{x} = - 3 x^{2} + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- 3 x^{2} + C) x$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (- 3 x^{2} + C) x$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- 3 x^{2} + C) x$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(- 3 x^{2} + C) x$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 3 x^{2} x + C x$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = - 3 (x \cdot x^{2}) + C x$

Paso 8.3.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = - 3 (x^{1} x^{2}) + C x$

Paso 8.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = - 3 x^{1 + 2} + C x$

Paso 8.3.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$y = - 3 x^{3} + C x$