Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 7.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 7.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(\arctan (x) + C) x^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Reordena los factores en $\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.2

Reordena $x^{2} \arctan (x)$ y $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$