Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{d y}{d x} = y + 2$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{x + 1}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} = y + 2$

Paso 1.1.2

Multiplica ambos lados por $x + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

Paso 1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

Paso 1.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Simplifica $(y + 2) (x + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.1

Expande $(y + 2) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = y (x + 1) + 2 (x + 1)$

Paso 1.1.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 (x + 1)$

Paso 1.1.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.2.1.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.2.1.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.2.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.2.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x y + y + 2 x + 2$

Paso 1.1.3.2.1.2.2.2

Mueve $y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y + 2 x + y + 2$

Paso 1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = (x y + 2 x) + y + 2$

Paso 1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 2) + 1 (y + 2)$

Paso 1.2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 2} d y = (x + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int x + 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u = y + 2$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x + 1 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y + 2 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$| y + 2 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Paso 3.3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C} - 2$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C} - 2$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$