Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Paso 4.2.2

Para escribir $\frac{1}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Paso 4.2.3

Para escribir $\frac{1}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Paso 4.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $42$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $6$ por $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Paso 4.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Paso 4.2.4.4

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Paso 4.2.6

Suma $7$ y $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{13}{42}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Paso 4.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Paso 4.3.5.2

Resta $13$ de $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Paso 5

Sustituye $\frac{71}{42}$ por $K$ en $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{71}{42}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$