Cálculo Ejemplos

$2 y (x^{2} + 1) d x + (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = 0$

Paso 1

Resta $2 y (x^{2} + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(\frac{x^{3}}{3} + x) d y = - 2 y (x^{2} + 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y}$ .

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $\frac{x^{3}}{3} + x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $\frac{x^{3}}{3} + x$ de $(\frac{x^{3}}{3} + x) y$ .

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) (y)} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (\frac{x^{3}}{3} + x) d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (- 2 y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(\frac{x^{3}}{3} + x) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $\frac{x^{3}}{3} + x$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x^{1}) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x \frac{x^{2}}{3} + x \cdot 1) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $x$ de $x \frac{x^{2}}{3} + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x (\frac{x^{2}}{3} + 1) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x (\frac{x^{2}}{3} + \frac{3}{3}) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{x \frac{x^{2} + 3}{3} y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.4

Combina exponentes.

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Paso 3.3.4.1

Combina $x$ y $\frac{x^{2} + 3}{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.3.4.2

Combina $\frac{x (x^{2} + 3)}{3}$ y $y$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{\frac{x (x^{2} + 3) y}{3}} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{y} d y = - 2 (1 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y}) (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ por $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.6

Multiplica $- 2 \frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ .

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Paso 3.6.1

Combina $- 2$ y $\frac{3}{x (x^{2} + 3) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 \cdot 3}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.6.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{x (x^{2} + 3) y} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $y$ de $x (x^{2} + 3) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{y (x (x^{2} + 3))} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{y (x (x^{2} + 3))} (y (x^{2} + 1)) d x$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x^{2} + 1) d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} (x^{2} + 1) d x$

Paso 3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6}{x (x^{2} + 3)} x^{2} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Paso 3.10

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{x (x^{2} + 3)}$ al numerador.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} x^{2} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Paso 3.10.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x \cdot x) - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Paso 3.10.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x (x^{2} + 3)} (x \cdot x) - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Paso 3.10.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6}{x^{2} + 3} x - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Paso 3.11

Combina $\frac{- 6}{x^{2} + 3}$ y $x$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)} \cdot 1) d x$

Paso 3.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Paso 3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x}{x^{2} + 3} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Paso 3.14

Para escribir $- \frac{6 x}{x^{2} + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x}{x^{2} + 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Paso 3.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} + 3) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.15.1

Multiplica $\frac{6 x}{x^{2} + 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x \cdot x}{(x^{2} + 3) x} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Paso 3.15.2

Reordena los factores de $(x^{2} + 3) x$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{6 x \cdot x}{x (x^{2} + 3)} - \frac{6}{x (x^{2} + 3)}) d x$

Paso 3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 6 x \cdot x - 6}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 3.17.1

Factoriza $6$ de $- 6 x \cdot x - 6$ .

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Paso 3.17.1.1

Factoriza $6$ de $- 6 x \cdot x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x) - 6}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.17.1.2

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x) + 6 (- 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.17.1.3

Factoriza $6$ de $6 (- x \cdot x) + 6 (- 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x \cdot x - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.17.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.17.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x \cdot x) - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.17.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- x^{2} - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.18

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2}) - 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.19

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.20

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.21

Reescribe $- (x^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 (- 1 (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 3.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{6 (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (6 \int \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 3)} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{x^{2} + 1}{x (x^{2} + 3)} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = x (x^{2} + 3)$ . Entonces $d u = (3 x^{2} + 3) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = x (x^{2} + 3)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3)]$

Paso 4.3.4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.3.4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (2 x + 0) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$x (2 x) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} + 3) \cdot 1$

Paso 4.3.4.1.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.4.1.9.1

Multiplica $x^{2} + 3$ por $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 3$

Paso 4.3.4.1.9.2

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 4.3.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{3 u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 4.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x (x^{2} + 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x (x^{2} + 3) |) = C$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x \cdot x^{2} + x \cdot 3 |) = C$

Paso 5.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x \cdot x^{2} + x \cdot 3 |) = C$

Paso 5.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{1 + 2} + x \cdot 3 |) = C$

Paso 5.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + x \cdot 3 |) = C$

Paso 5.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + 3 x |) = C$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Simplifica $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{3} + 3 x |)$ .

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Paso 5.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x^{3} + 3 x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{3} + 3 x |}^{2}) = C$

Paso 5.3.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x^{3} + 3 x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$

Paso 5.3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$

Paso 5.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2})} = e^{C}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}$

Paso 5.6

Resuelve $y$

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Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$

Paso 5.6.2

Divide cada término en $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ por ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.1

Divide cada término en $| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2} = e^{C}$ por ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común de ${(x^{3} + 3 x)}^{2}$ .

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Paso 5.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y | {(x^{3} + 3 x)}^{2}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Paso 5.6.2.2.1.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Paso 5.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.6.2.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 3 x$ .

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Paso 5.6.2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x \cdot x^{2} + 3 x)}^{2}}$

Paso 5.6.2.3.1.1.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot 3)}^{2}}$

Paso 5.6.2.3.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x (x^{2} + 3))}^{2}}$

Paso 5.6.2.3.1.2

Aplica la regla del producto a $x (x^{2} + 3)$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$